Pendidikan Matematika 15: Persamaan Kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT

1. Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat:

ax² + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R

Dengan:

x adalah variabel dari persamaan kuadrat

a adalah koefisien x²

b adalah koefisien x

c adalah konstanta

2. Cara Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Ada 3 cara untuk menyelesaikan soal-soal yang berbentuk persamaan kuadrat yakni:

a. Memfaktorkan
ax² + bx + c = 0, a≠0 dapat diuraikan menjadi: (x - x1) (x - x2) = 0

Contoh:

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut:

1. x² - x - 20 = 0

2. x² + 7x + 12 = 0

Penyelesaian:

1. x² - x - 20 = 0

Akan dicari 2 bilangan yang merupakan faktor dari 20 yang jika dijumlahkan hasilnya -1 dan dikalikan hasilnya -20.

Faktor dari 20: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20

Dari faktor di atas yang memenuhi adalah -5 dan 4 sehingga:

x² - x - 20 = 0

(x - 5) (x + 4) = 0

x= 5 atau x = -4

Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah x1 = 5 dan x2 = -4

2. x² + 7x + 12 = 0

Akan dicari 2 bilangan yang merupakan faktor dari 12 yang jika dijumlahkan hasilnya 7 dan dikalikan hasilnya 12.

Faktor dari 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

Dari faktor di atas yang memenuhi adalah 3 dan 4 sehingga:

x² + 7x +12 = 0

(x + 3) (x + 4) = 0

x= -3 atau x = -4

Sehingga akar-akar persamaan kuadratnya adalah x1 = -3 dan x2 = -4

b. Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
Rumus untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a≠0 adalah:

Contoh:

Dengan menggunakan contoh di atas maka:

1. x² - x - 20 = 0 dengan a = 1, b = -1 dan c =-20

2. x² + 7x + 12 = 0 dengan a = 1, b = 7 dan c =12

c. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah dengan mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Bentuk umum persamaan kuadrat berbentuk kuadrat sempurna adalah

(x+p)² = q, dengan q > 0

Contoh soal :
x²- 6x - 7 = 0 ------> Bentuk ini diubah menjadi:
x²- 6x - 7 + 16 = 0 + 16
x²- 6x + 9 = 16
(x - 3)² = 16
x - 3 = ±4
x = 4 + 3 = 7 atau
x = -4 + 3 = -1

3. Menentukan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat ditentukan oleh nilai diskriminan

D = b² - 4ac

a. Kedua akar nyata dan berlainan (x1 ≠ x2) <=> D > 0

b. Kedua akar nyata dan sama (x1 = x2) <=> D = 0

c. Kedua akar tidak nyata (imaginer) <=> D < 0

d. D = k², dengan k²= bilangan kuadrat sempurna kedua akar rasional

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a≠0 dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.
Dari rumus:

dapat diperoleh:

x1 + x2 =-b/a dan x1.x2 = c/a

Rumus-rumus lain yang dapat digunakan adalah

5. Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, a≠0 maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

a. Syarat mempunyai dua akar positif