Transformasi

TRANSFORMASI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

1.     Translasi (Pergeseran)

2.     Refleksi(Pencerminan)

3.     Rotasi(Perputaran)

4.     Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ini ilustrasinya : 

TRANSLASI / PERGESERAN

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :
                 
                         

Dimana :

a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

Contoh Soal :

a.        Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b.       Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

                         

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a.      Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

             

b.     Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
             

            

Soal No. 2
Disediakan suatu persamaan garis lurus
Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)

Pembahasan
Ada beberapa cara diantaranya:

Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:
x’ = x + 2 → x = x’ – 2
y’ = y + 1 → y = y’ – 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal
y = 3x + 5
(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5

Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:
y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1
y = 3x

Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5
Misal:
Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5)
Titik B, untuk Y = 0 → x = – ⁵ /₃ dapat titik B (– ⁵/₃ , 0)

Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)
A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)

Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:

       

Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:

              ax + by = c
              Translasi T (p, q)
              Hasil :
              ax + by = c + ap + bq

 

Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.
y = 3x + 5
atau
3x − y = − 5
oleh T = (2,1)

Hasil translasinya adalah:
3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1)
3x − y = − 5 + 6 − 1
3x − y = 0 atau y = 3x

REFLEKSI / PENCERMINAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

·        terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)

·        terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)

·        terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

 

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

·        terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)

·        terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

·        terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)

·        terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10) 

  

  Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :

1.     Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

2.     Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

3.     Pencerminan terhadap titik (0, 0)

4.     Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

5.     Pencerminan terhadap garis y = mx + c

               jika m = tan θ maka:

Contoh Soal :

ROTASI / PERPUTARAN

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

·        +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)

·        +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)

·        +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

         

Contoh Soal